Vorlesungen von Prof. Uwe Semmelmann

Institut für Geometrie und Topologie

am Institut für Geometrie und Topologie

Ziel der Vorlesung ist eine Einführung in die Theorie der differenzierbaren Mannigfaltigkeiten. Diese kann man sich vorstellen als "glatte" Untermengen in euklidischen Räumen. Der Schwerpunkt liegt aber zunächst auf der Betrachtung als abstrakte lokal-euklidische Räume mit einer differenzierbaren Struktur. Es sollen die wichtigsten Eigenschaften und Beispiele differenzierbarer Mannigfaltigkeiten behandelt werden.

Verschiedenste in der Mathematik bzw Physik betrachtete Mengen (etwa Lösungsmengen von gewissen Gleichungen oder höher-dimensionale gekrümmte Modelle unseres Universums) tragen die Struktur differenzierbarer Mannigfaltigkeiten. Die Anwendung der Differentialgeometrie erlaubt es oft zu tiefliegenden Einsichten zu gelangen. Besonders interessant ist dabei das Wechselspiel von Geometrie und Topologie.

Folgende Grundbegriffe der Differentialgeometrie sollen u.a. in der Vorlesung eingeführt werden: der Tangentialraum, Vekorfelder, Differentialformen und Tensoren, das Differential, die deRham-Kohomologie, Lie Gruppen, homogene Räume, symplektische Mannigfaltigkeiten und, im letzen Teil der Vorlesung, falls die Zeit bleibt, ein Ausblick auf die Riemannsche Geometrie mit Riemannsche Metriken und dem Satz von Hodge über die Isomorphie der deRham Kohomologie mit dem Kern des Laplace Operators, den sogenannten harmonischen Formen.

Literaturliste

Die Vorlesung orientiert sich hinsichtlich ihres Aufbaus und der Auswahl der behandelten Themen an folgendem Buch:

  • S. Gallot, D. Hulin, J. Lafontaine, Riemannian Geometry

Die Darstellung dort ist allerdings recht knapp gehalten. Ausserdem liegt der Schwerpunkt auf Themen, die erst in der Fortführung dieser Vorlesung, d.h. in der Riemannschen Geometrie, behandelt werden sollen.
Die folgenden Bücher sind ergänzend zu empfehlen:

  • R. Bishop, R. Crittenden, Geometry of Manifolds
  • M. do Carmo, Riemannian Geometry
  • L. Conlon, Differentiable Manifolds
  • K. Jänich, Vektoranalysis
  • S. Kobayashi, K. Nomizu, Foundations of Differential Geometry I, II
  • W. Kühnel, Differentialgeometrie
  • B. O'Neill, Semi-Riemannian Geometry, With Applications to Relativity
  • M. Spivak, A Comprehensive Introduction to Differential Geometry I
  • Chavel,
  • Warner, Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Springer GTM
  • Berger, Gauduchon, Mazet
  • Petersen Riemannian Geometry , Springer GTM

Skript und Übungsaufgaben

Literaturliste zur Vorlesung Topologie

Die Vorlesung orientiert sich hinsichtlich ihres Aufbaus und der Auswahl der behandelten Themen an folgenden Büchern (die E-Books kann man vom Uni-Netzwerk bzw. der Uni-Bibliothek aus herunterladen):

  • K. Jänich, Topologie, Springer (Link zum E-Book)
  • M. A. Armstrong, Basic Topology, Springer

Die folgenden Bücher sind ergänzend zu empfehlen:

  • A. Hatcher, Notes on Introductory Point-Set Topology, (link)
  • E. Ossa, Topologie, Vieweg+Teubner
  • G. Laures, M. Szymik, Grundkurs Topologie, Springer Spektrum (Link zum E-Book)
  • J. R. Munkres, Topology, Prentice-Hall
  • B. v. Querenburg, Mengentheoretische Topologie, Springer

Skript und Übungsaufgaben

Drop-Box-Link

Scheinkriterien

  • 50 % der Punkte aus den Übungsaufgaben
  • 50 % der Punkte aus den wöchentlichen Quizzen
  • 50 % der Votierpunkte (nur von nicht-schriftlichen Aufgaben)
  • Zweimal Vorrechnen (eine schriftliche und eine nicht-schriftliche Aufgabe, nach Möglichkeit einmal vor und einmal nach Weihnachten)
  • Bestehen der Scheinklausur

Ziel der Vorlesung ist eine Einführung in die Theorie der differenzierbaren Mannigfaltigkeiten. Diese kann man sich vorstellen als "glatte" Untermengen in euklidischen Räumen. Der Schwerpunkt liegt aber zunächst auf der Betrachtung als abstrakte lokal-euklidische Räume mit einer differenzierbaren Struktur. Es sollen die wichtigsten Eigenschaften und Beispiele differenzierbarer Mannigfaltigkeiten behandelt werden.

Verschiedenste in der Mathematik bzw Physik betrachtete Mengen (etwa Lösungsmengen von gewissen Gleichungen oder höher-dimensionale gekrümmte Modelle unseres Universums) tragen die Struktur differenzierbarer Mannigfaltigkeiten. Die Anwendung der Differentialgeometrie erlaubt es oft zu tiefliegenden Einsichten zu gelangen. Besonders interessant ist dabei das Wechselspiel von Geometrie und Topologie.

Folgende Grundbegriffe der Differentialgeometrie sollen u.a. in der Vorlesung eingeführt werden: der Tangentialraum, Vekorfelder, Differentialformen und Tensoren, das Differential, die deRham-Kohomologie, Lie Gruppen, homogene Räume, symplektische Mannigfaltigkeiten und, im letzen Teil der Vorlesung, falls die Zeit bleibt, ein Ausblick auf die Riemannsche Geometrie mit Riemannsche Metriken und dem Satz von Hodge über die Isomorphie der deRham Kohomologie mit dem Kern des Laplace Operators, den sogenannten harmonischen Formen.

 

Literaturliste

Die Vorlesung orientiert sich hinsichtlich ihres Aufbaus und der Auswahl der behandelten Themen an folgendem Buch:

  • S. Gallot, D. Hulin, J. Lafontaine, Riemannian Geometry

Die Darstellung dort ist allerdings recht knapp gehalten. Ausserdem liegt der Schwerpunkt auf Themen, die erst in der Fortführung dieser Vorlesung, d.h. in der Riemannschen Geometrie, behandelt werden sollen.
Die folgenden Bücher sind ergänzend zu empfehlen:

  • R. Bishop, R. Crittenden, Geometry of Manifolds
  • M. do Carmo, Riemannian Geometry
  • L. Conlon, Differentiable Manifolds
  • K. Jänich, Vektoranalysis
  • S. Kobayashi, K. Nomizu, Foundations of Differential Geometry I, II
  • W. Kühnel, Differentialgeometrie
  • B. O'Neill, Semi-Riemannian Geometry, With Applications to Relativity
  • M. Spivak, A Comprehensive Introduction to Differential Geometry I
  • Chavel,
  • Warner, Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Springer GTM
  • Berger, Gauduchon, Mazet
  • Petersen Riemannian Geometry , Springer GTM

 

Skript zur Vorlesung und Klasuren in der Drop-Box

Der Dirac-Operator ist ein Differentialoperator 1. Ordnung, der auf den Schnitten eines komplexen Vektorbündels, des Spinorbündels, wirkt. Er hat eine Reihe von sehr schönen analytischen und geometrischen Eigenschaften. Insbesondere lässt sich auf kompakten Mannigfaltigkeiten sein Index durch eine topologische Größe beschreiben, die gegeben ist als ein Integral über einen Krümmungsterm. Diese Aussage ist der sogeannte Atiyah-Singer-Indexsatz, den man als weitreichende Verallgemeinerung des Satzes von Gauss-Bonnet auffassen kann. Der Atiyah-Singer-Indexsatz hat eine Vielzahl von bemerkenswerten Anwendungen, zB. in der Topologie, der Geometrie, der Zahlentheorie und der Darstellungstheorie. Ziel der Vorlesung ist eine gründliche Einführung des Dirac-Operators zusammen mit den Grundbegriffen der Spin-Geometrie. Dazu gehören grundlegende Dinge zu Clifford-Algebren und Hauptfaserbündeln. Ebenfalls sollen die wichtigsten Punkte der Theorie der charakteristischen Klassen eingeführt werden, was nötig ist, um den Atiyah-Singer-Indexsatz formulieren zu können ist. Im letzten Teil der Vorlesung werden einige Anwendungen behandelt. Ziel einer weiterführenden Vorlesung im Sommersemester 2017 (gehalten von Prof. F. Witt) ist dann der ausführliche Beweis des Indexsatzes und weitere Anwendungen.

Plan der Vorlesung

  • Wiederholung - Riemannsche Geometrie
  • Charakteristische Klassen (zB. Chern-, Pontrjagin-Klassen, A-Dach-, Todd-Geschlecht)
  • Clifford-Algebren (Klassifikation, Darstellungen, Spin-Gruppe)
  • Clifford-Bündel, Dirac-Operatoren
  • Spin-Strukturen, Spinorbündel
  • Analytische Eigenschaften von Dirac-Operatoren
  • Der Atiyah-Singer-Index-Satz (Formulierung, Beispiele)
  • Anwendungen
  • Parallele Spinoren, Killing-Spinoren und Holonomie
  • Spektren-Berechnung von Dirac-Operatoren

 

Ziel der Vorlesung ist eine Einführung in die Theorie der differenzierbaren Mannigfaltigkeiten. Diese kann man sich vorstellen als "glatte" Untermengen in euklidischen Räumen. Der Schwerpunkt liegt aber zunächst auf der Betrachtung als abstrakte lokal-euklidische Räume mit einer differenzierbaren Struktur. Es sollen die wichtigsten Eigenschaften und Beispiele behandelt werden.

Verschiedenste in der Mathematik bzw Physik betrachtete Mengen (etwa Lösungsmengen von gewissen Gleichungen) tragen die Struktur differenzierbarer Mannigfaltigkeiten. Die Anwendung der Differentialgeometrie erlaubt es oft zu tiefliegenden Einsichten zu gelangen. Besonders interessant ist dabei das Wechselspiel von Geometrie und Topologie.

Folgende Grundbegriffe der Differentialgeometrie sollen u.a. eingeführt werden: der Tangentialraum, Vekorfelder, Differentialformen und Tensoren, Distributionen, Lie Gruppen, homogene Räume, symplektische Mannigfaltigkeiten und, im letzen Teil der Vorlesung, Riemannsche Metriken, kovariante Ableitungen und Krümmung.

Literaturliste


Die Vorlesung orientiert sich hinsichtlich ihres Aufbaus und der Auswahl der behandelten Themen an folgendem Buch:

  • S. Gallot, D. Hulin, J. Lafontaine, Riemannian Geometry

Die Darstellung dort ist allerdings recht knapp gehalten. Ausserdem liegt der Schwerpunkt auf Themen, die erst in der Fortführung dieser Vorlesung, d.h. in der Riemannschen Geometrie, behandelt werden sollen.
Die folgenden Bücher sind ergänzend zu empfehlen:

  • R. Bishop, R. Crittenden, Geometry of Manifolds
  • M. do Carmo, Riemannian Geometry
  • L. Conlon, Differentiable Manifolds
  • K. Jänich, Vektoranalysis
  • S. Kobayashi, K. Nomizu, Foundations of Differential Geometry I, II
  • W. Kühnel, Differentialgeometrie
  • B. O'Neill, Semi-Riemannian Geometry, With Applications to Relativity
  • M. Spivak, A Comprehensive Introduction to Differential Geometry I
  • Chavel,
  • Warner, Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Springer GTM
  • Berger, Gauduchon, Mazet
  • Petersen Riemannian Geometry , Springer GTM

 

Skript der Vorlesung

Ankündigung

zur Vorlesung

Literaturliste

  • Th. Friedrich: Dirac operators in Riemannian geometry AMS 2000
  • Kobayashi, Nomizu: Foundations of Differential Geometry I, II
  • H.B. Lawson, M.-L. Michelson: Spin geometry , Princeton University Press, 1989
  • J. Roe: Elliptic operators, topology and asymptotic methods , Longman, 1998, second edition

Übungsblätter

Blatt 1
Blatt 2
Blatt 3
Blatt 4

Vorlesung

  • 01. Vorlesung: 07.04.14: Wiederholung Differential- und Riemannsche Geometrie I:
  • 02. Vorlesung: 11.04.14: Wiederholung Differential- und Riemannsche Geometrie II:
  • 03. Vorlesung: 14.04.14: Invariante Polynome:
  • 04. Vorlesung: 25.04.14: Der Weil-Homomorphismus: pdf
  • 05. Vorlesung: 28.04.14: Chern-Klassen: pdf
  • 06. Vorlesung: 05.04.14: Der Chern-Charakter: pdf
  • 07. Vorlesung: 09.05.14: Pontrjagin-Klassen: 1. pdf, 2. pdf, 3. pdf,
  • 08. Vorlesung: 12.05.14: Clifford-Bündel und Dirac-Operatoren: pdf
  • 09. Vorlesung: 16.05.14: Weitzenböck Formel für Dirac-Operatoren: pdf
  • 10. Vorlesung: 19.05.14: Die Spin-Gruppe: pdf
  • 11. Vorlesung: 23.05.14: Darstellungen der Clifford-Algebra: pdf
  • 12. Vorlesung: 26.05.14: Das Spinor-Bündel: pdf
  • 13. Vorlesung: 30.05.14: Die Spin^c-Gruppe und Spin^c-Strukturen: 1. pdf,
  • 14. Vorlesung: 02.06.14: Analytische Eigenschaften des Dirac-Operators pdf
  • 15. Vorlesung: 06.06.14: Wärmeleitungs- und Wellengleichung
  • 16. Vorlesung: 16.06.14: Spurklasse Operatoren und der harmonische Oszillator
  • 17. Vorlesung: 23.06.14: Asymptotische Entwicklung des Wärmeleitungskerns
  • 18. Vorlesung: 26.06.14: Das Index-Problem
  • 19. Vorlesung: 27.06.14: Der Getzler-Beweis des Indexsatzes I
  • 20. Vorlesung: 30.06.14: Der Getzler-Beweis des Indexsatzes II
  • 21. Vorlesung: 04.07.14: Die Seiberg-Witten Gleichungen
  • 22. Vorlesung: 07.07.14: Anwendungen I
  • 23. Vorlesung: 11.07.14: Anwendungen II
  • 24. Vorlesung: 14.07.14: Anwendungen III
  • 25. Vorlesung: 18.07.14: Anwendungen IV

Ankündigung

Hier

Literaturliste

Die Vorlesung orientiert sich hinsichtlich ihres Aufbaus und der Auswahl der behandelten Themen an folgendem Buch:S. Gallot, D. Hulin, J. Lafontaine, Riemannian Geometry.

Die Darstellung dort ist allerdings recht knapp gehalten. Ausserdem liegt der Schwerpunkt auf Themen, die erst in der Fortführung dieser Vorlesung, d.h. in der Riemannschen Geometrie, behandelt werden sollen.

Die folgenden Bücher sind ergänzend zu empfehlen:

  • R. Bishop, R. Crittenden, Geometry of Manifolds
  • M. do Carmo, Riemannian Geometry
  • L. Conlon, Differentiable Manifolds
  • K. Jänich, Vektoranalysis
  • S. Kobayashi, K. Nomizu, Foundations of Differential Geometry I, II
  • W. Kühnel, Differentialgeometrie
  • B. O'Neill, Semi-Riemannian Geometry, With Applications to Relativity
  • M. Spivak, A Comprehensive Introduction to Differential Geometry I
  • Chavel,
  • Warner, Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Springer GTM
  • Berger, Gauduchon, Mazet
  • Petersen Riemannian Geometry , Springer GTM

Skript und Übungsblätter

Skript (Stand 4. August 2013, 23:10, im Aufbau, unter Mithilfe von Herrn Hamilton.
Wenn Sie Fehler oder Unklarheiten im Skript finden, sagen Sie uns bitte Bescheid)

Übungen
Die Übungen finden donnerstags 15:45 -17:15 im Raum 7.527 (IAZ Seminarraum) statt.

Übungsblatt 1
Übungsblatt 2
Übungsblatt 3
Übungsblatt 4
Übungsblatt 5
Übungsblatt 6
Übungsblatt 7
Übungsblatt 8
Übungsblatt 9
Übungsblatt 10

Ankündigung:

Vorlesung: Differentialgeometrie, WS 2012/13

Ziel der Vorlesung ist eine Einführung in die Theorie der differenzierbaren Mannigfaltigkeiten. Diese kann man sich vorstellen als "glatte" Untermengen in euklidischen Räumen. Der Schwerpunkt liegt aber zunächst auf der Betrachtung als abstrakte lokal-euklidische Räume mit einer differenzierbaren Struktur. Es sollen die wichtigsten Eigenschaften und Beispiele behandelt werden.

Verschiedenste in der Mathematik bzw Physik betrachtete Mengen (etwa Lösungsmengen von gewissen Gleichungen) tragen die Struktur differenzierbarer Mannigfaltigkeiten. Die Anwendung der Differentialgeometrie erlaubt es oft zu tiefliegenden Einsichten zu gelangen. Besonders interessant ist dabei das Wechselspiel von Geometrie und Topologie.

Folgende Grundbegriffe der Differentialgeometrie sollen u.a. eingeführt werden: der Tangentialraum, Vekorfelder, Differentialformen und Tensoren, Distributionen, Lie Gruppen, homogene Räume, symplektische Mannigfaltigkeiten und, im letzen Teil der Vorlesung, Riemannsche Metriken, kovariante Ableitungen und Krümmung.

Als Ergänzung zur Vorlesung eignet sich das Hauptseminar Kompakte Lie-Gruppen und Darsttelungstheorie.



Literaturliste

Die Vorlesung orientiert sich hinsichtlich ihres Aufbaus und der Auswahl der behandelten Themen an folgendem Buch:S. Gallot, D. Hulin, J. Lafontaine, Riemannian Geometry

Die Darstellung dort ist allerdings recht knapp gehalten. Ausserdem liegt der Schwerpunkt auf Themen, die erst in der Fortführung dieser Vorlesung, d.h. in der Riemannschen Geometrie, behandelt werden sollen.

Die folgenden Bücher sind ergänzend zu empfehlen:

  • R. Bishop, R. Crittenden, Geometry of Manifolds
  • M. do Carmo, Riemannian Geometry
  • L. Conlon, Differentiable Manifolds
  • K. Jänich, Vektoranalysis
  • S. Kobayashi, K. Nomizu, Foundations of Differential Geometry I, II
  • W. Kühnel, Differentialgeometrie
  • B. O'Neill, Semi-Riemannian Geometry, With Applications to Relativity
  • M. Spivak, A Comprehensive Introduction to Differential Geometry I
  • Chavel,
  • Warner, Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Springer GTM
  • Berger, Gauduchon, Mazet
  • Petersen Riemannian Geometry , Springer GTM

Skript und Übungen

Skript (Stand 26.02., 21:15, es wurde ein grosser Teil überprüft, der Text wird noch weiter bearbeitet, es fehlen leider immer noch einige Stellen, der Abschnitt zu Orientierung ist eingefügt, die Beweise müssen noch ergänzt werden.)

Übungen
Änderung: Die Übungen finden nun montags 15:45 -17:15 im Raum 7.527 (IAZ Seminarraum) statt.

Ab dem zweiten Blatt sind wöchentlich zwei Aufgaben abzugeben, die dann korrigiert werden.Anmeldung
Übungsblatt 1
Übungsblatt 2
Übungsblatt 3
Übungsblatt 4
Übungsblatt 5
Übungsblatt 6
Übungsblatt 7
Übungsblatt 8
Übungsblatt 9
Übungsblatt 10
Übungsblatt 11
Übungsblatt 12
Übungsblatt 13
Übungsblatt 14

Literaturliste:

  • S. Gallot, D. Hulin, J. Lafontaine, Riemannian Geometry
  • R. Bishop, R. Crittenden, Geometry of Manifolds
  • S. Kobayashi, K. Nomizu, Foundations of Differential Geometry I, II
  • B. O'Neill, Semi-Riemannian Geometry, With Applications to Relativity

Skript (Stand 26.07.11)

Übungen:
Übungsblatt 1
Übungsblatt 2

Die Übungen finden am Donnerstag, 11.30-13.00 Uhr, in Raum 7.530 statt.Übungsaufgaben

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