Seminar Zahlen

Wintersemester 2017/2018

Donnerstag 14:00 - 15:30, Seminarraum 7.530



Die reellen Zahlen als Zahlbereich sind wohlbekannt. Es gibt nun verschiedene Möglichkeiten, diesen Zahlbereich zu erweitern. Die wichtigste davon ist die Erweiterung zu den komplexen Zahlen C. Doch auch andere sind möglich, wobei sich nicht alle Eigenschaften von C erhalten lassen. Es stellt sich nun heraus, dass man eigentlich nur zwei Erweiterungen hat, nämlich die Quaternionen und die Oktaven, wenn man an gewissen Grundeigenschaften festhalten möchte und insbesondere die eindeutige Möglichkeit einer Division fordert (Divisions-Algebren). Das Seminar folgt dem Buch "Zahlen" von Ebbinghaus et al. Es behandelt die komplexen Zahlen mit dem Fundamentalsatz. Auch die Zahl Pi wird in diesem Zusammenhang betrachtet. Weiter werden die Erweiterungen zu den Quaternionen und Oktaven (auch Cayley-Zahlen) genau beschrieben und verschiedene einfache Eindeutigkeitssätze vorgestellt, insbesondere der Satz von Frobenius und der Satz von Hopf. Zum Schluss werden noch die Kompositionsalgeben behandelt, die eng verwandt sind mit den Divisions-Algebren und die interessante Anwendungen in der Zahlentheorie und Geometrie haben. Ein interessanter Aspekt ist, dass sich einige der algebraischen Aussagen nur mit analytischen und topologischen Hilfsmitteln beweisen lassen. Das tritt schon beim Fundamentalsatz der Algebra auf und stärker noch beim Satz von Hopf, der einen Vorgeschmack gibt auf den Beweis der Einzigkeit der Divisions-Algebren, der im letzten Kapitel des Buches beschrieben wird. Dieses Seminar setzt (bis auf die letzten beiden Vorträge) nur die Anfängervorlesungen voraus.


Vorläufiger Vortragsplan:
Dies ist ein erster Versuch einer Verteilung. Weitere Vortragswünsche schicken Sie mir bitte per E-Mail. Dann trage ich es in die Vortragsliste ein. Bitte stimmen Sie sich auch untereinander ab.

19. Oktober Vorbesprechung
9. November Komplexe Zahlen I
Definition, geometrische Darstellung, Konjugation, Automorphismen, Zwei-Quadrate-Satz, Polarkoordinaten, n-te Wurzeln,
(Kapitel 3.2, 3.3 und 3.6, S. 53 - 63, 73 - 78 )
Julia Lerner
16. November Komplexe Zahlen II
Geometrische Eigenschaften: Doppelverhältnis, Satz des Ptolemäus, Wallace-Gerade, Gruppen O(2) und SO(2)
(Kapitel 3.4 und 3.5, S. 64 - 73,)
Tobias Krebs
23. November Fundamentalsatz der Algebra
Beweise von Argand und Laplace, Anwendung auf Polynomfaktorisierung, Einzigkeitssatz für C
(Kapitel 4.2 und 4.3 mit Anhang, S.90-99)
Vincent Rieder
30. November Die Zahl Pi, I
Exponentialabbildung, Definition und Charakterisierung von Pi
(Kapitel 5.2 und 5.3, S. 106 - 116)
Shabitha Balaratnam
7. Dezember Die Zahl Pi, II
Formeln für Pi, Irrationalität, Kettenbrüche
(Kapitel 5.4, S. 116 - 123)
Jannik Hess
14. Dezember Die Zahl Pi, III
Die Transzendenz von Pi
(Ian Steward, Galois Theory)
Galaktion Garidis
21. Dezember Die Quaternionen I
Grundbegriffe aus der Theorie der Algebren, Definition, Eigenschaften, Beschreibung der Quaternionen, der Vier-Quadrate-Satz
(Repertorium S. 151 - 154, Kapitel 7.1 und 7.2, S. 158 -173 )
Mareike Peissner
11. Januar Die Quaternionen II
Die Gruppe S^3, die Gruppen O(3), O(4) und die Quaternionen, der Satz von Hamilton
(Kapitel 7.2 und 7.3, S.173 - 181)
Hilarion Garidis
18. Januar Der Satz von Frobenius
Hamiltonsche Tripel, der Satz von Frobenius Formulierung und Beweise
(Kapitel 8.1 und 8.2, S. 184 -189)
Lukas Kinzkofer
25. Januar Der Satz von Hopf
Topologisierung reeller Algebren, das Lemma von Hopf, der Satz von Hopf, Formulierung und Beweis
(Kapitel 8.3, S. 190 - 196)
Heiko Mögerle
1. Februar Die Oktaven (Cayley Zahlen)
Quadratische Algebren, Existenz und Eigenschaften der Oktaven, der Acht-Quadrate Satz, die Einzigkeit der Cayley-Algebra
(Kapitel 9.1 -9.3, S. 205 -218)
Philipp Maichrowitz

Die Seiten- und Kapitelangaben beziehen sich auf die dritte Ausgabe des Buches Zahlen von Ebbinghaus et al. Von dem Buch "Zahlen" besitzt die Universitätsbibliothek eine elektronische Version.

Alle Vorträge sind an der Tafel zu halten. Die Dauer sollte zwischen 60 und 90 Minuten liegen. Die Vortragenden kommen bitte rechtzeitig vor dem Vortragstermin zu mir, um den Vortrag zu besprechen. Zu jedem Vortrag ist eine lesbare Ausarbeitung anzufertigen. Fragen können Sie auch gern per E-Mail an mich schicken. Es wird die Teilnahme an allen Vorträgen erwartet.

Eine ausführliche Antwort auf die Frage "Wie halte ich einen guten Seminarvortrag?" finden Sie hier (von Prof. Manfred Lehn, Uni Mainz)




Literatur:
Ebbinghaus et al., Zahlen,
Springer, 3. Auflage, 1992.

Uwe Semmelmann, 05.05.17