Inhalte
Symmetrische Räume sind Riemannschen Mannigfaltigkeiten, die ein besonders hohes Maß an Symmetrie besitzen, sie sind eine Klasse von Beispielen, die für die Differentialgeometrie von zentraler Bedeutung ist. Symmetrische Räume sind dadurch gekennzeichnet , dass es in jedem ihrer Punkte eine Punktspiegelung gibt; der euklidische Raum und Sphären sind elementare Beispiele. Außerdem gehören projektive und hyperbolische Räume und Grassmann-Mannigfaltigkeiten zu dieser Klasse.
Symmetrische Räume sind insbesondere homogen, was eine algebraische Beschreibung ermöglicht. Diese führt zum einen dazu, dass man die symmetrischen Räume klassifizieren kann, d.h. man hat eine vollständige — nicht allzu lange — Liste der Grundbausteine. Zum anderen kann diesen algebraischen Zugang nutzen, um geometrische Größen wie Krümmungen oder Jacobifeldern zu berechnen und explizite Beschreibungen zu erhalten.
Die Themen der Vorlesung sind: Riemannsche Mannigfaltigkeiten, isometrische Gruppenwirkungen, Riemannsche Geometrie von homogenen und symmetrischen Räumen, Klassifikation der symmetrischen Räume.
Literatur
- Arvanitoyeorgos, Andreas: An introduction to Lie groups and the geometry of homogeneous spaces. Student Mathematical Library, 22, AMS, 2003.
- Besse, Arthur: Einstein manifolds. Springer, 1987.
- Helgason, Sigurdur: Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces. Academic Press 197.
- Kühnel, Wolfgang: Differentialgeometrie. Kurven - Flächen - Mannigfaltigkeiten. Vieweg, 1999.
- Petersen, Peter: Riemannian Geometry. 2006
- Wolf, Joseph A.: Spaces of constant curvature. Publish or perish, 1977.
Übungen
In der Übung werden wöchentlich Übungsaufgaben besprochen, um den Vorlesungsstoff zu vertiefen. Es handelt sich dabei sowohl um, meist einfachere, Präsenzaufgaben zum jeweils aktuellen Stoff, als auch um, teilweise etwas umfangreichere, schriftliche Aufgaben. Die Übungsaufgaben werden über ILIAS (siehe oben unter Aktuelles) bereitgestellt.
Prüfungen
|