Seminar über Zahlen

Sommersemester 2011

Montag 09:45 - 11:15, Seminarraum 7.530



Die reellen Zahlen als Zahlbereich sind wohlbekannt. Es gibt nun verschiedene Möglichkeiten, diesen Zahlbereich zu erweitern. Die wichtigste davon ist die Erweiterung zu den komplexen Zahlen C. Doch auch andere sind möglich, wobei sich nicht alle Eigenschaften von C erhalten lassen. Es stellt sich nun heraus, dass man eigentlich nur zwei Erweiterungen hat, nämlich die Quaternionen und die Oktaven, wenn man an gewissen Grundeigenschaften festhalten möchte und insbesondere die eindeutige Möglichkeit einer Division fordert (Divisions-Algebren). Das Seminar folgt dem Buch "Zahlen" von Ebbinghaus et al. Es behandelt die komplexen Zahlen mit dem Fundamentalsatz. Auch die Zahl Pi wird in diesem Zusammenhang betrachtet. Weiter werden die Erweiterungen zu den Quaternionen und Oktaven genau beschrieben und verschiedene einfache Eindeutigkeitssätze vorgestellt, insbesondere der Satz von Frobenius und der Satz von Hopf. Zum Schluss werden noch die Kompositionsalgeben behandelt, die eng verwandt sind mit den Divisions-Algebren und die interessante Anwendungen in der Zahlentheorie und Geometrie haben. Ein interessanter Aspekt ist, dass sich einige der algebraischen Aussagen nur mit analytischen und topologischen Hilfsmitteln beweisen lassen. Das tritt schon beim Fundamentalsatz der Algebra auf und stärker noch beim Satz von Hopf, der einen Vorgeschmack gibt auf den Beweis der Einzigkeit der Divisions-Algebren, der in dem Seminar nicht mehr vorgestellt werden kann (siehe Kapitel 11, in "Zahlen"). Dieses Seminar setzt nur die Anfängervorlesungen voraus.


Vorläufiger Vortragsplan:
(Dies ist ein erster Versuch einer Verteilung. Weitere Vortragswünsche schicken Sie mir bitte per E-Mail. Dann trage ich es in die Vortragsliste ein. Bitte stimmen Sie sich auch untereinander ab.)

2. Mai Komplexe Zahlen I
Definition, geometrische Darstellung, Konjugation, Automorphismen, Zwei-Quadrate-Satz, Polarkoordinaten, n-te Wurzeln,
(Kapitel 3.2, 3.3 und 3.6, S. 53 - 63, 73 - 78 )
Franziska Mähner
9. Mai Komplexe Zahlen II
Geometrische Eigenschaften: Doppelverhältnis, Satz Ptolemäus, Wallace Gerade, Gruppen O(C) und SO(2)
(Kapitel 3.4 und 3.5, S. 64 - 73,)
Antonios Liamis
16. Mai Fundamentalsatz der Algebra
Beweise von Argand und Laplace, Anwendung auf Polynomfaktorisierung, Einzigkeitssatz für C
(Kapitel 4.2 und 4.3 mit Anhang, S.90-99)
Cansu Kara
23. Mai Die Zahl Pi, I
Exponentialabbildung, Definition und Charakterisierung von Pi
(Kapitel 5.2 und 5.3, S. 106 - 116)
Simon Klass
30. Mai Die Zahl Pi, II
Formeln für Pi, Irrationalität, Kettenbrüche
(Kapitel 5.4, S. 116 - 123)
Bastian Csiky
6. Juni Die Zahl Pi, III
Die Transzendenz von Pi
(Ian Steward, Galois Theory)
Marcel Haberl
20. Juni Die Quaternionen I
Grundbegriffe aus der Theorie der Algebren, Definition, Eigenschaften, Beschreibung der Quaternionen, der Vier-Quadrate-Satz
(Repertorium S. 151 - 154, Kapitel 7.1 und 7.2, S. 158 -173 )
Christina Koch
27. Juni Die Quaternionen II
Die Gruppe S^3, die Gruppen O(3), O(4) und die Quaternionen, der Satz von Hamilton
(Kapitel 7.2 und 7.3, S.173 - 181)
Thomas Gruber
4. Juli Der Satz von Frobenius
Hamiltonsche Tripel, der Satz von Frobenius Formulierung und Beweise
(Kapitel 8.1 und 8.2, S. 184 -189)
Andre Jaenisch
11. Juli Der Satz von Hopf
Topologisierung reeller Algebren, das Lemma von Hopf, der Satz von Hopf, Formulierung und Beweis
(Kapitel 8.3, S. 190 - 196)
N.N.
18. Juli Die Oktaven (Cayley Zahlen)
Quadratische Algebren, Existenz und Eigenschaften der Oktaven, der Acht-Quadrate Satz, die Einzigkeit der Cayley-Algebra
(Kapitel 9.1 -9.3, S. 205 -218)
Alexander Schmidt
25. Juli Kompositionsalgebren und der Satz von Hurwitz
Definition und Eigenschaften von Kompositionsalgebren, der Satz von Hurwitz, Vektorprodukt-Algebren,
(Kapitel 10.1 - 10.3, 219 - 230)
Anna Kulischkin

Die Seiten- und Kapitelangaben beziehen sich auf die dritte Ausgabe des Buches Zahlen von Ebbinghaus et al. Von dem Buch "Zahlen" besitzt die Universitätsbibliothek eine elektronische Version.

Alle Vorträge sind an der Tafel zu halten. Die Dauer sollte zwischen 60 und 90 Minuten liegen. Die Vortragenden kommen bitte spätestens eine Woche vor dem Vortragstermin zu mir, um den Vortrag zu besprechen. Zu jedem Vortrag ist eine lesbare Ausarbeitung anzufertigen. Fragen können Sie auch gern per E-Mail an mich schicken. Es wird die Teilnahme an allen Vorträgen erwartet.

Eine ausführliche Antwort auf die Frage "Wie halte ich einen guten Seminarvortrag?" finden Sie hier (von Prof. Manfred Lehn, Uni Mainz)




Literatur:
Ebbinghaus et al., Zahlen,
Springer, 3. Auflage, 1992.

Uwe Semmelmann, 09.02.11