Hauptseminar Zahlen

Sommersemester 2018

Dienstag 11:30 - 13:00, Seminarraum 7.530



Die reellen Zahlen als Zahlbereich sind wohlbekannt. Es gibt nun verschiedene Möglichkeiten, diesen Zahlbereich zu erweitern. Die wichtigste davon ist die Erweiterung zu den komplexen Zahlen C. Doch auch andere sind möglich, wobei sich nicht alle Eigenschaften von C erhalten lassen. Es stellt sich nun heraus, dass man eigentlich nur zwei Erweiterungen hat, nämlich die Quaternionen und die Oktaven, wenn man an gewissen Grundeigenschaften festhalten möchte und insbesondere die eindeutige Möglichkeit einer Division fordert (Divisions-Algebren). Das Seminar folgt dem Buch "Zahlen" von Ebbinghaus et al. Es behandelt die komplexen Zahlen mit dem Fundamentalsatz. Auch die Zahl Pi wird in diesem Zusammenhang betrachtet. Weiter werden die Erweiterungen zu den Quaternionen und Oktaven (auch Cayley-Zahlen) genau beschrieben und verschiedene einfache Eindeutigkeitssätze vorgestellt, insbesondere der Satz von Frobenius und der Satz von Hopf. Zum Schluss werden noch die Kompositionsalgeben behandelt, die eng verwandt sind mit den Divisions-Algebren und die interessante Anwendungen in der Zahlentheorie und Geometrie haben. Ein interessanter Aspekt ist, dass sich einige der algebraischen Aussagen nur mit analytischen und topologischen Hilfsmitteln beweisen lassen. Das tritt schon beim Fundamentalsatz der Algebra auf und stärker noch beim Satz von Hopf, der einen Vorgeschmack gibt auf den Beweis der Einzigkeit der Divisions-Algebren, der im letzten Kapitel des Buches beschrieben wird. Dieses Seminar setzt (bis auf die letzten beiden Vorträge) nur die Anfängervorlesungen voraus.


Vorläufiger Vortragsplan:

10. April Vorbesprechung
17. April Komplexe Zahlen
Definition, geometrische Darstellung, Konjugation, Automorphismen, Zwei-Quadrate-Satz, Polarkoordinaten, n-te Wurzeln,
Jasmin Huber
24. April Fundamentalsatz der Algebra
Beweise von Argand und Laplace, Anwendung auf Polynomfaktorisierung, Einzigkeitssatz für C
(Kapitel 4.2 und 4.3 mit Anhang, S.90-99)
Simon Burmeister
15. Mai Die Zahl Pi, I
Exponentialabbildung, Definition und Charakterisierung von Pi
(Kapitel 5.2 und 5.3, S. 106 - 116)
Joachim Fuchs
5. Juni Die Zahl Pi, II
Formeln für Pi, Irrationalität, Kettenbrüche
(Kapitel 5.4, S. 116 - 123)
Daniel Ehrenfeuchter
12. Juni Symmetrische Polynome
Hauptsatz über symmetrische Polynome, elementar symmetrische Polynome, Newton Polynome
(Ian Steward, Galois Theory)
Rico Maier
19. Juni Die Zahl Pi, III ***
Die Transzendenz von Pi
(Ian Steward, Galois Theory)
Jan Brändle
26. Juni Die Quaternionen
Grundbegriffe aus der Theorie der Algebren, Definition, Eigenschaften, Beschreibung der Quaternionen, der Vier-Quadrate-Satz
(Repertorium S. 151 - 154, Kapitel 7.1 und 7.2, S. 158 -173 )
Marius Haller
3. Juli Der Satz von Frobenius
Hamiltonsche Tripel, der Satz von Frobenius Formulierung und Beweise
(Kapitel 8.1 und 8.2, S. 184 -189)
Insa Knöpfle
10. Juli Die Oktaven (Cayley Zahlen)
Quadratische Algebren, Existenz und Eigenschaften der Oktaven, der Acht-Quadrate Satz, die Einzigkeit der Cayley-Algebra
(Kapitel 9.1 -9.3, S. 205 -218)
Tobias Bahr
17. Juli Kompositionsalgebren und der Satz von Hurwitz
Definition und Eigenschaften von Kompositionsalgebren, der Satz von Hurwitz, Vektorprodukt-Algebren,
(Kapitel 10.1 - 10.3, S. 219 - 230)
NN

Die Seiten- und Kapitelangaben beziehen sich auf die dritte Ausgabe des Buches Zahlen von Ebbinghaus et al. Von dem Buch "Zahlen" besitzt die Universitätsbibliothek eine elektronische Version.

Alle Vorträge sind an der Tafel zu halten. Die Dauer sollte zwischen 60 und 90 Minuten liegen. Die Vortragenden kommen bitte rechtzeitig vor dem Vortragstermin zu mir, um den Vortrag zu besprechen. Zu jedem Vortrag ist eine lesbare Ausarbeitung anzufertigen. Fragen können Sie auch gern per E-Mail an mich schicken. Es wird die Teilnahme an allen Vorträgen erwartet.

Eine ausführliche Antwort auf die Frage "Wie halte ich einen guten Seminarvortrag?" finden Sie hier (von Prof. Manfred Lehn, Uni Mainz)




Literatur:
Ebbinghaus et al., Zahlen,
Springer, 3. Auflage, 1992.

Uwe Semmelmann, 05.05.17