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Hauptseminar: Kompakte Lie-Gruppen und Darstellungstheorie

Hauptseminar: Kompakte Lie-Gruppen und Darstellungstheorie

Wintersemester 2012/2013

Donnerstag, 15:45, Seminarraum 7.530


Lie-Gruppen sind zugleich Gruppen und differenzierbare Mannigfaltigkeiten. Das Wechselspiel von Algebra, Topologie, Analysis und Differentialgeometrie führt zu einer interessanten und reichhaltigen Struktur. Klassische Beispiele sind die Gruppen der orthogonalen bzw. unitären Matrizen. Sie spielen eine wichtige Rolle in der Differentialgeometrie, aber auch in anderen Bereichen der Mathematik und, als Symmetriegruppen, in der theoretischen Physik. In dem Seminar soll die Darstellungstheorie kompakter Lie-Gruppen eingeführt werden. Der Schwerpunkt liegt auf der Untersuchung der Struktur (Geometrie, Topologie) dieser Gruppen. Die Darstellungstheorie wird in den Grundbegriffen behandelt.


Literatur:
Th. Bröcker, T. tom Dieck, Representation of Compact Lie Groups,
Springer Verlag, GTM 98, 1995.


Vortragsplan: (mit vorläufiger Vortragseinteilung)

I. Lie-Gruppen und Lie-Algebren

1. Vortrag:
-Begriff der Lie-Gruppe, klassische Lie-Gruppen,
-1-parametrige Untergruppen,
-adjungierte Darstellung,
-Exponentialabbildung,

2. Vortrag:
-homogene Räume,
-invariante Integration


II. Elementare Darstellungstheorie

3. Vortrag: Raphael Joseph
-Definition einer Darstellung, lineare Algebra von Darstellungen
-Charaktere und Othogonalitätsrelationen

4. Vortrag: Jan-Hendrik Kalte
-Darstellungen von SU(2), SO(3), U(2) und O(3)
-Der Darstellungsring
-Darstellungen abelscher Gruppen

5. Vortrag: Benjamin Pinzer
-Darstellungen und Lie-Algebren, Gewichtsräume
-Die Lie-Algegra sl( 2, C)


III. Das Peter-Weyl-Theorem

6. Vortrag: Svenja Hüning
-Matrixkoeffizienten
-Analysis auf Lie Gruppen
-Satz von von Peter-Weyl

7. Vortrag: Daniela Maier
-induzierte Darstellungen
-Tannaka-Krein-Dualität


IV. Maximale Tori

8. Vortrag:
-maximale Tori
-Das Weyl-Integrationstheorem

9. Vortrag:
-Weyl-Gruppen
-Beispiele (klassische Gruppen)


V. Wurzelsysteme

10. Vortrag:
-Wurzeln, Weyl-Kammern
-Wurzelsysteme, Basen
-Dynkin-Diagramme

11. Vortrag: Irina Peremykin
-Beispiele (klassische Gruppen)
-Fundamentalgruppen
-Struktur kompakter Gruppen




Hinweise:

Alle Vorträge sind an der Tafel zu halten. Die Dauer sollte zwischen 60 und 90 Minuten liegen. Die Vortragenden kommen bitte spätestens eine Woche vor dem Vortragstermin zu mir, um den Vortrag zu besprechen. Zu jedem Vortrag ist eine lesbare Ausarbeitung anzufertigen. Fragen können Sie auch gern per E-Mail an mich schicken. Es wird die Teilnahme an allen Vorträgen erwartet. Eine ausführliche Antwort auf die Frage "Wie halte ich einen guten Seminarvortrag?" finden Sie hier (von Prof. Manfred Lehn, Uni Mainz).




Uwe Semmelmann, 28.September 2012