Mögliche Themen für Staatsexamensarbeiten (Zulassungsarbeiten):

• Der Aufbau der euklidischen Geometrie unter Verwendung einer Abstandsfunktion

  Die Begründung der euklidischen Geometrie durch Axiome ist ein klassisches Thema der Geometrie und geht schon auf die "Alten Griechen" zurück. Abstände zwischen Punkten galten damals aber als problematisch wegen der "Inkommensurabilität" von Strecken mit irrationalem Quotienten der Längen (z.B. die Diagonale im Quadrat). Aus der Sicht einer Mathematik nach Cauchy, Weierstrass und Dedekind erscheint dies aber weniger furchterregend. Der euklidische Abstandsbegriff ist überdies ein sehr nützlicher und auch sehr grundlegender, der aus der modernen Mathematik überhaupt nicht wegzudenken ist. Auch der elementare Satz des Pythagoras steht damit in unmittelbarem Zusammenhang. Der Geist des "Erlanger Programms" von Felix Klein steht auch nicht im Widerspruch zu dem Abstandsbegriff, denn die abstandserhaltenden Abbildungen bilden eine sehr natürliche Transformationsgruppe. In dem Aufsatz
  • S. Mac Lane, Metric postulates for plane geometry, American Math. Monthly 66, 543-555 (1959)
  skizziert ein grosser Mathematiker, wie man die euklidische Geometrie durch relativ einfache Axiome effektiv begründen kann durch Verwendung einer (axiomatisch verlangten) Abstandsmetrik d(-,-). Dadurch bekommen auch euklidische Geraden a priori eine geometrische Struktur, weil auch in ihnen der Abstand definiert ist. Zum Beispiel liegt ein Punkt B zwischen A und C genau dann, wenn gilt: d(A,C) = d(A,B) + d(B,C). Dies liefert auch eine natürliche und anschauliche Interpretation einer euklidischen Geraden als "Zahlengerade", was dann wiederum eine problemlose Einführung von Koordinaten ermöglicht. In der Arbeit sollen die Ideen von Mac Lane näher ausgeführt und ggfs. nicht nur auf die Ebene, sondern auch den dreidimensionalen oder höherdimensionalen Raum bezogen werden. Vielleicht lässt sich auch ein Gewinn für die Schulpraxis daraus ableiten. Zur dreidimensionalen Geometrie gibt es ausserdem die folgende Quelle:
  • A.A. Ivanov, Metric axiomatics of euclidean space, J. Math. Sciences 119, 45-54 (2004)

• Das Winkelteilungsproblem aus geometrischer und algebraischer Sicht

  Bekanntlich ist es "unmöglich", einen Winkel in drei gleiche Teile zu teilen, eine Aussage, die jeden Ingenieur gewiss befremdet. Genauer gesagt, ist es im allgemeinen unmöglich, einen beliebigen gegebenen Winkel in endlich vielen Schritten einer Konstruktionsvorschrift nur mittels Zirkel und Lineal in drei exakt gleiche Teile zu teilen. Algebraisch betrachtet liegt dies daran, dass die Lösung einer kubischen Gleichung genügen müsste. Aufgabe der Arbeit wäre es, diese Gleichung (für die Teilung in beliebig viele gleiche Teile, nicht nur in drei) zu analysieren und herauszufinden, welche Konstruktionsmöglichkeiten es dennoch gäbe. Siehe dazu auch
  • C. Videla, On points constructible from conics, The Math. Intelligencer 19 - 2, 53-57 (1997).
  Evtl. könnte man Überlegungen zu computergestützten Konstruktionen mit einbeziehen (keine Näherungskonstruktionen, sondern exakte Verfahren, die dem klassischen Verfahren mit Zirkel und Lineal vergleichbar wären).

• Regelflächen in 3-dimensionalen Riemannschen Mannigfaltigkeiten

  Das klassiche Konzept der Regelflächen ist wohlbekannt im 3-dimensionalen euklidischen Raum. Ein typisches Ergebnis ist der Satz, dass eine minimale Regelfläche eine Ebene oder eine Wendelfläche sein muss. Auch in der Sphäre, im hyperbolischen Raum sowie in den analogen Räumen mit indefiniter Metrik wurde dieses Konzept weitgehend untersucht. Wenn der umgebende Raum eine 3-dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit ist, so wird am den Begriff "Regelfläche" so erklären, dass die Fläche von einer Schar von geodätischen Linien erzeugt wird, die von einer Kurve (der Leitkurve) ausgehen. In der Arbeit wird es darum gehen, unter vernünftigen Zusatzannahmen über die Riemannsche Metrik des umgebenden Raumes Resultate über Regelflächen erzielen kann, die denen im klassischen Fall entsprechen. Zunächst wird man die grundlegenden Gleichungen dafür herleiten (im euklidischen Fall siehe z.B. W.Kühnel, Differentialgeometrie, 3.20 ff.).